Finite Mathematik Beispiele

$x^{2} + 5 x + 9 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $36$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $36$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 5 + i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 4.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{11}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{11})}{2}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- i \sqrt{11})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{11})}{2}$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $36$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 5 - i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 5.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{11}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{11})}{2}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (i \sqrt{11})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{11})}{2}$

Schritt 5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{11}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{11}}{2}$